(\(\gets\)Négligeabilité)
Proposition :
Soient \(\alpha,\beta,a\in\Bbb R\) tels que \(\alpha,\beta\gt 0\) et \(a\gt 1\)
Alors... $$\begin{align}&\lim_{n\to+\infty}{{\frac{n^\alpha}{a^n} }}={{0}}\\ &\lim_{n\to+\infty}{{\frac{(\ln n)^\beta}{n^\alpha} }}={{0}}\\ &\lim_{n\to+\infty}{{\frac{(\ln n)^\beta}{a^n} }}={{0}}\end{align}$$
(Logarithme népérien - Logarithme naturel, Puissance, Limite)
Formule de Stirling
Croissances comparées :
Si \(q\gt 1\), $$\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\frac{ {{q^n}} }{ {{n^\alpha}} }={{+\infty}}$$
Croissances comparées :
Si \(q\gt 1\), $$\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\frac{ {{q^n}} }{ {{(\ln n)^b}} }={{+\infty}}$$
Croissances comparées :
Si \(q\lt 1\) et \(a\gt 0\), $$\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\frac{ {{q^n}} }{ {{n^a}} }={{0}}$$
Croissances comparées :
si \(q\lt 1\) et \(a\gt 0\), $$\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\frac{ {{q^n}} }{ {{n^a}} }={{0}}$$
Croissances comparées :
Si \(a\gt 0\), $$\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\frac{ {{n^a}} }{ {{(\ln n)^b}} }={{+\infty}}$$
Croissances comparées :
Pour \(q\gt 1\) et \(a\gt 0\) on a : $${{n!}}\gg {{q^n}}\gg {{n^a}}\gg{{(\ln n)^b}}$$
Croissances comparées :
Pour \(q\lt 1\) et \(a\gt 0\) on a : $${{n!}}\gg {{n^a}}\gg {{(\ln n)^b}}\gg{{ q^n}}$$
(Factorielle, Puissance, Logarithme népérien - Logarithme naturel, Suite géométrique)
